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Topological complexity

　空間Bに対し、それ上のpath spaceから始点と終点対応で P(B) → B×B というfibrationがある。これがsectionを持つかどうかというのがtopological complexityの大元にある。B×B上全体では持たなくても、いくつかのopen coveringに分けて制限した際には、sectionがあるかもしれない。その最小のcoveringの個数-1を tc(B) とかいてBのtopological complexityと呼ぶ。これはhomotopy不変量となる。
　一番重要なのはtc(B)=0とBがcontractibleという事が同値だという事である。これを見ると思い出すのは、L-S categoryであるが、cat(B)=tc(B)であるらしい。

　より一般的な概念としては、 f : X → B に対し、同じくsectionを持つBの最小のopen coveringの数をseccat(f)と書いてfのsectional categoryと呼ぶらしい。fがtrivial projectionやfibrationだったときなどは色々とわかるらしい。